UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.3
Determine uma reta tangente ao gráfico de de modo que a distância da origem até seja a menor possível.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar uma reta tangente ao gráfico de modo que a distância da origem até seja a menor possível.
Tá... Primeiramente temos que ter em mente que a equação da reta tangente em um ponto é dada por:
Ainda, também temos que saber que a fórmula para a distância entre um ponto com coordenadas e uma reta (com equação ) é dada por:
Assim, temos que minimizar de tal forma que encontremos a menor distância.
Então vamos devagarinho aqui que vai dar certo!!
😉
Passo 2
Bom... fazendo a derivada de para o ponto , temos:
Assim, aplicando na equação da reta tangente, temos:
Logo, substituindo na equação da distância e lembrando que o ponto é a origem , temos:
Passo 3
Agora, a fim de minimizar a equação , devemos derivá-la e igualar a zero:
ou
Que são os pontos críticos da função .
Passo 4
Agora, testando esses valores na função , temos:
E
Assim, temos que a reta é dada pela seguinte equação:
Com .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Com .