UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 6.
Qual é o paralelepípedo retangular de base quadrada e volume que tem a menor área total?
Passo 1
Vamos encontrar o paralelepípedo retangular de base quadrada com volume 8 m³ que tem a menor área total.
Denotaremos o comprimento de um lado da base quadrada como "a" metros, a largura como "b" metros e a altura como "h" metros. Sabemos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado por:
Queremos minimizar a área total (A) do paralelepípedo, que é a soma das áreas de todas as suas faces. A área total é dada por:
Agora, vamos isolar uma das variáveis nas equações acima e substituir nas fórmulas da área total:
1. Isolamos "h" na equação do volume:
2. Substituímos "h" na fórmula da área total:
Agora, simplificamos a expressão:
Passo 2
Para minimizar a área total, devemos encontrar os valores de "a" e "b" que minimizam essa expressão.
Agora, usamos o princípio do cálculo para encontrar os valores críticos, que são os valores de "a" e "b" para os quais a derivada de A em relação a "a" e "b" é igual a zero.
Vamos encontrar a derivada parcial de A em relação a "a" e "b":
Agora, igualamos essas derivadas a zero:
Resolvemos essas equações para "a" e "b":
Passo 3
1. A partir da primeira equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
2. A partir da segunda equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos ver que essas equações têm uma solução comum: .
Passo 4
Portanto, o paralelepípedo retangular de base quadrada com volume 8 m³ e a menor área total possível é um cubo com aresta de comprimento igual a 2 metros. A área total será:
Extra:
Portanto, o cubo de aresta 2 metros é a resposta correta, com a menor área total.
Resposta
: .