UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 4 - Alternativa b)
Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, e com a geratriz dada.
Passo 1
Oiie, tudo certinho com você?
Nesta questão temos um cone circular reto com geratriz , queremos obter o cone de volume máximo tendo em vista esta geratriz, a equação geral do cone é dada por
e o volume de um cone é dado pela expressão
A única coisa que nos falta é garantir que este volume seja máximo! Como fazer algo assim? Para obter o máximo de uma função, precisamos garantir duas condições, em nosso caso, como queremos obter o máximo em relação a altura, temos que
e
Já que estas condições nos indicam que em um ponto específico temos o valor máximo da função . Vamos lá!
Passo 2
Para calcular a nossa derivada, vamos primeiro substituir na expressão para o volume, temos que
Distribuindo os produtos, temos que
Podemos utilizar a regra do tombo para calcular a primeira derivada, temos que
Ou seja, temos que
Podemos supor inicialmente que é obtido quando , mas precisaremos checar isso posteriormente com a segunda condição dada no passo 1. Por agora, temos que
Isolando o valor de temos que
Temos a nossa altura, mas será que ela está relacionada à um volume máximo mesmo? Vamos verificar!
Passo 3
Para verificar precisamos da segunda derivada , ou seja, precisamos calcular
Isso pode ser dividido em duas derivadas, e como temos que é uma constante, temos que
Com a regra do tombo obtemos que
Se temos que realmente é , então precisamos que
Note que usando , obtemos que
Ou seja, é realmente relacionado a um volume máximo! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!