Suponha agora que o objeto circular do exercício anterior e, na verdade, um equador de um objeto esférico. Determine a taxa de variação do volume do objeto e de sua área, quando o raio é 6 m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas, vamos ver o que o problema nos diz! Ela nos diz que temos um objeto esférico variando o raio (informação do exercício anterior). E pediu a taxa de variação do volume e da área, tudo em relação ao tempo. E agora, como relacionar?

Mas espera aí! Sabemos que a área de uma esfera tem a ver com seu raio

A = 4 π r 2

E o volume também

V = 4 3 π r 3

Então vamos derivar dos dois lados em relação ao tempo e substituir nos dados!

Tranquilo? Relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Bora lá!

Passo 2

Derivando a fórmula da área em relação ao tempo temos

A = 4 π r 2

d A d t = 4 π .   2 r . d r d t

Agora vamos os dados:

r = 6

d r d t = 4   ( e x e r c í c i o   a n t e r i o r   d i z   i s s o )

d A d t = q u e r e m o s

Assim

d A d t = 4 π . 2.6 . 4 = 192 π m 2 / s

E agora do volume

V = 4 3 π r 3

d V d t = 4 3 π . 3 r 2 d r d t

Substituindo temos

d V d t = 4 π . 6 2 . 4 = 576 π   m 3 / s

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d A d t = 192 π m 2 / s

d V d t = 576 π   m 3 / s

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