UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 6
Uma câmera colocada no solo está filmando um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação , sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Calcule a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial no instante t = 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no instante inicial t = 0).
Passo 1
Primeiro, vamos começar com a equação que relaciona a altura do ônibus espacial com o tempo
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial em relação ao tempo.
A distância entre a câmera e o ônibus espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um dos catetos é a altura do ônibus e o outro cateto é a distância entre a câmera e a base do ônibus (que é constante a 600 m).
Vamos chamar a distância entre a câmera e a base do ônibus de e a hipotenusa (distância entre a câmera e o ônibus) de
Substituindo
Simplificando:
Passo 2
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, vamos isolar que é a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento
Primeiro, calculamos a altura do ônibus espacial nesse momento:
Agora, calculamos a hipotenusa usando a fórmula
Agora, substituímos esses valores na fórmula da taxa de variação
Portanto, a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento é aproximadamente metros por segundo.
Resposta
Portanto, a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento é aproximadamente metros por segundo.