5. Determine as dimensões de um retângulo com perímetro 100   m cuja a área seja a maior possível. Justifique com detalhes!

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos uma questão de otimização, onde precisamos “maximizar” a área do nosso retângulo. Ou seja, para fazer isso precisamos achar o “máximo” de uma função e podemos fazer isso derivando.

Mas antes temos que entender que função vamos maximizar!

Passo 2

Sejam x e y os lados do retângulo em questão.

O enunciado nos disse que o perímetro do retângulo é 100   m . Logo

2 x + 2 y = 100

Isolando y ,

y = 100 - 2 x 2 = 50 - x

Mas nessa questão queremos saber a maior área possivel. E a área do retângulo é dada por

A = x y

Substituindo y na equação,

A = x 50 - x = 50 x - x 2

Opaaa! Encontramos a função que queremos maximizar.

Passo 3

Temos então

A x = 50 x - x 2

E queremos saber o x que nos dá a maior área. Então vamos derivar para encontrar seu ponto de máximo.

A ' x = 50 - 2 x

Igualando a zero para encontrar o ponto de máximo,

50 - 2 x = 0

x = 25   m

Como temos que

y = 50 - x

A dimensão de y para que obtemos a maior área será

y = 50 - 25 = 25   m

Logo o retângulo com maior área possivel será quando

x = y = 25   m

Ou seja, quando ele for um quadrado!

Resposta

x = y = 25   m

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