5. Determine as dimensões de um retângulo com perímetro cuja a área seja a maior possível. Justifique com detalhes!
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos uma questão de otimização, onde precisamos “maximizar” a área do nosso retângulo. Ou seja, para fazer isso precisamos achar o “máximo” de uma função e podemos fazer isso derivando.
Mas antes temos que entender que função vamos maximizar!
Passo 2
Sejam e os lados do retângulo em questão.
O enunciado nos disse que o perímetro do retângulo é . Logo
Isolando ,
Mas nessa questão queremos saber a maior área possivel. E a área do retângulo é dada por
Substituindo na equação,
Opaaa! Encontramos a função que queremos maximizar.
Passo 3
Temos então
E queremos saber o que nos dá a maior área. Então vamos derivar para encontrar seu ponto de máximo.
Igualando a zero para encontrar o ponto de máximo,
Como temos que
A dimensão de para que obtemos a maior área será
Logo o retângulo com maior área possivel será quando
Ou seja, quando ele for um quadrado!