Uma pessoa no ponto A da margem de um rio tem que atravessá-lo para chegar ao ponto C da margem oposta (vide figura abaixo). A largura do rio é L e a distância ao longo do rio entre os pontos A ' (obtido atravessando o rio perpendicularmente à sua margem) e C também é L .

A figura abaixo mostra um possível caminho para isso, onde a pessoa sai do rio no ponto B .

A velocidade da pessoa em terra é v e na água é v / 2 . Você pode, se quiser, trabalhar nas unidades em que L   =   1   e v   =   1 . Determine a distância de B a C para que o tempo gasto seja mínimo.

Passo 1

Bom, ignorando o fato que o responsável por esse desenho da prova tem um talento artístico nato, a gente precisa achar uma expressão para o tempo total em função da distância x = B C , e aí poderemos derivar e igualar esse cara a 0 para otimizar a função. O tempo total é dado pelo tempo percorrido em água mais o tempo percorrido em terra, ou seja:

t x = t á g u a + t t e r r a

Ora, a gente sabe que uma velocidade constante equivale a velocidade média, assim vamos ter

v á g u a = d á g u a t á g u a

E

v t e r r a = d t e r r a t t e r r a

Como queremos o tempo, vamos escrever essas duas expressões assim

t á g u a = d á g u a v á g u a   ;   t t e r r a = d t e r r a v t e r r a

Opa, mas ele disse que a velocidade na água é v / 2 e a na terra é v , assim vamos ter

t á g u a = d á g u a v / 2   ;   t t e r r a = d t e r r a v

t á g u a = 2 d á g u a v   ;   t t e r r a = d t e r r a v

Como ele deu o valor de v que podemos usar, vamos usar né para facilitar nossa vida.

t á g u a = 2 d á g u a   ;   t t e r r a = d t e r r a

Agora falta achar essas duas distâncias.

A distância que a pessoa caminha na terra vale o segmento B C , ou seja, x . Assim temos

d t e r r a = x

Já a em água valerá a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos que é A B e os catetos são

A ' B = L - x

E

A A ' = L

Por Pitágoras vamos ter

A B = L - x 2 + L 2

Isso nos diz que

d á g u a = L - x 2 + L 2

Enfim, o tempo em função de x é dado da seguinte forma:

t x = 2 L - x 2 + L 2 + x

Vamos trocar L por 1 também como ele sugeriu ali em cima.

t x = 2 1 - x 2 + 1 + x

Dando uma última arrumação

t x = 2 x 2 - 2 x + 2 + x

Enfim, essa é a função que queremos otimizar!

Passo 2

Vamos derivar esse tempo e igualar t ' x a 0 :

t ' x = 2 x 2 - 2 x + 2 ' 2 x 2 - 2 x + 2 + 1 = 0

2 2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 2 + 1 = 0

2 x - 2 x 2 - 2 x + 2 = - 1

2 x - 2 = - x 2 - 2 x + 2

2 x - 2 2 = x 2 - 2 x + 2

4 x 2 - 8 x + 4 = x 2 - 2 x + 2

3 x 2 - 6 x + 2 = 0

Assim vamos ter

x 1 = 6 - 36 - 24 6 = 6 - 12 6 = 6 - 2 3 6 = 3 - 3 3

x 2 = 6 + 36 - 24 6 = 6 + 12 6 = 6 + 2 3 6 = 3 + 3 3

Qual desses dois x que vão servir para a gente? Repara que o segundo é maior que o valor de L que é 1 , como B C é necessariamente menor que 1 temos

x = 3 - 3 3

E esse é o valor de B C que otimiza o menor tempo de travessia do ponto A até C .

Resposta

B C = 3 - 3 3   u . c .

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