Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P2, Questão 4.
Encontre o ponto sobre a curva (onde ) que está mais próximo do ponto .
Passo 1
Bom, se a gente quer achar o ponto, na curva, mais próximo de , então a gente quer achar a menor distância entre o ponto e a curva.
No plano cartesiano, a gente tem essa fórmula aqui pra essa distância:
Onde é a distância entre os pontos e . No nosso caso:
Beleza? Então vamos jogar isso na fórmula da distância e ver no que dá.
Passo 2
A nossa distância é:
Tá, e nossa missão é minimizar a distância . Se a gente elevar os dois lados dessa equação ao quadrado, ficamos com o seguinte:
O que é bem mais simples. E perceba o seguinte: dá no mesmo minimizar ou .
Passo 3
Beleza, pra encontrar esse ponto de mínimo, primeiro temos que derivar a função em relação a , e depois igualar a zero:
Separando isso em duas derivadas:
A primeira é mais fácil de calcular:
E a segunda exige a regra da cadeia:
Então:
Passo 4
Então essa distância é minimizada quando . Nesse caso:
Ou seja, o ponto da curva que fica mais próximo ao ponto é:
Resposta
O ponto mais próximo é .