Considere a reta de equação .

Indique uma fórmula para a distância à origem de um ponto da reta, em função da abcissa só.

Calcule o ponto que minimiza essa distância.

Quanto vale essa distância mínima?

(Obs: minimizar a distância é equivalente a minimizar o quadrado da distância).

Temos que um ponto qualquer na reta tem o seguinte formato

e como a origem é , o vetor é dado por

Calculando seu módulo, temos que a distância é dada por

Expandindo o quadrado e juntando termos semelhantes, temos que

Vamos tentar minimizar essa função! Vem comigo!

O mínimo de uma função é obtido quando a primeira derivada é nula, nos dando assim valores de que são nossos pontos críticos! E, quando a segunda derivada é positiva! Portanto, vamos calcular a primeira derivada e encontrar os pontos críticos! Temos que

Para derivar isso precisaremos utilizar a regra da cadeia, uma vez que temos a derivada de uma função composta, ou seja precisamos aplicar

em nosso caso temos que e . Usando a regra do tombo em ambas as derivadas, temos que

simplificando o , obtemos que

Vamos usar isso para obter o ponto crítico!

Temos que os pontos críticos são obtidos quando , portanto, temos que

que ocorre quando

ou simplesmente

Temos apenas um ponto crítico! Portanto, precisamos verificar se ele é um ponto de mínimo! Para isso, precisaremos da segunda derivada! Vamo que vamo!

Para calcular a nossa segunda derivada temos que resolver

que é uma razão de funções! Portanto, vamos usar a regra do quociente na forma

como temos que , podemos usar a derivada que já conhecemos. Usando que , temos pela regra do tombo que

Nossa segunda derivada é então dada por

Vamos usar esse formato para ver qual será o sinal da nossa segunda derivada! Vem comigo!

Temos que é a raiz de , portanto o segundo termo dentro da derivada é nulo, usando no restante da derivada, temos que

Resultando em

Portanto em temos a distância mínima! E o valor dessa distância é

ou, racionalizando, temos que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!