Um fabricante produz por semana toneladas de um certo produto. O preço de venda é de unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com por , . O custo de produção é de unidades monetárias. Determine para que o lucro seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.
Passo 1
Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.
Não tem muito o que desenhar aqui, então vamos para o passo 2.
Passo 2
Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.
Tá, vamos ver todas as informações que o problema nos deu aqui.
é a quantidade de produtos. é o preço de venda. Temos também:
Que é o custo de produção. Não é, porém, essa função que ele quer otimizar. É a função lucro que será a venda menos o custo:
Onde é o preço de cada unidade multiplicado pela quantidade delas.
Passo 3
Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.
O problema é que não é constante. Depende de . Temos que deixar isso aí em função de para podermos otimizar. Então voltamos na primeira equação e isolamos :
O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:
Passo 4
Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.
Para acharmos os pontos críticos, onde estarão localizados os pontos de máximo e mínimo, devemos derivar:
Os pontos críticos estão onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando é zero:
Passo 5
Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.
Podemos escolher um valor à esquerda e outro à direita :
Como é positiva à esquerda e negativa à direita, temos aí um ponto de máximo.
Passo 6
Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).
Não há outros máximo para comparar, então vamos para o outro passo.
Passo 7
Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.
pode ir de zero, pois não tem como ter quantidade negativa, até mais infinito.
E:
No nosso ponto de máximo:
Comparando com outros valores, concluímos que se trata de um ponto de máximo global.