Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32 000 c m^3 . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

Seja b a dimensão do lado do quadrado da base e h a altura da caixa, daí, temos que

V = b 2 ⋅ h = 32000

Agora, vamos escrever uma fórmula para a área da caixa toda, para isso, calcularemos a área da base a a área lateral, daí temos

A b = b 2

A L = 4 ⋅ b ⋅ h

Daí, a área total da caixa é

A = b 2 + 4 b h

Do volume, temos que

h = 32000 b 2

Então, substituindo na área, temos

A = b 2 + 4 b 32000 b 2 = b 2 + 128000 b = b 3 + 128000 b

Passo 2

Para encontrar o valor mínimo da área, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

A ' = 3 b 3 - b 3 - 128000 b 2 = 2 b 3 - 128000 b 2

Igualando a zero

2 b 3 - 128000 b 2 = 0

2 b 3 - 128000 = 0

b 3 = 64000

b = 40   c m

Encontrando h

h = 32000 40 2 = 32000 1600 = 20   c m

Resposta

A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a b = 40   c m e uma altura h = 20   c m .

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