Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo. Se o perímetro da janela for 10 m , encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos as dimensões da janela de tal forma que seu perímetro deve ser de 10 m e passe a maior quantidade possível de luz (ou seja, maior área possível).

Bom... com as informações do enunciado, temos a seguinte representação:

E aí, bora lá??

😉

Passo 2

Então... queremos a maior área possível.

A área A é dada por:

A = x y + π x 2 2 2 ∴

A = x y + x 2 π 8

A questão nos disse que o perímetro P deve ser de 10 m , portanto:

P = x + 2 y + π x 2 ∴

10 = x + 2 y + π x 2 ∴

y = 5 - x 2 - π x 4

Substituindo y em A , temos:

A = 5 x - x 2 2 - x 2 π 8

Passo 3

Maximizando A , obtemos:

A ' x = 0 ∴

5 - x 1 + π 4 = 0 ∴

x = 20 4 + π

Substituindo em y :

y = 5 - 20 4 + π 2 - π 20 4 + π 4 ∴

y = 10 4 + π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x = 20 4 + π

y = 10 4 + π

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