Um fazendeiro tem 200 m de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes e com lados medindo x e y . Quais devem ser as dimensões dos galpões de modo a maximizar a área total cercada?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar as dimensões de três galpões adjacentes de forma que o seu perímetro máximo seja de 200 m .

Primeiramente, vamos desenhar os galpões:

Através da figura, percebemos que seu perímetro P é dado por:

P = y + y + y + x + x + x + x ∴

P = 4 x + 3 y

Ou seja, como seu perímetro máximo deve ser de 200 m , então:

4 x + 3 y = 200

Agora, temos que relacionar esse perímetro com a área do retângulo e derivarmos em seguida igualando a zero para encontrarmos o ponto máximo!

Então vamos devagarinho aqui que vai dar certo!!

😉

Passo 2

Bom...pela figura, vemos que a área A é dada por:

A = 3 x y

Isolando y na equação do perímetro, temos:

4 x + 3 y = 200 ∴

3 y = 200 - 4 x ∴

y = 200 - 4 x 3

Substituindo na equação da área:

A = 3 x * 200 - 4 x 3 ∴

A = 200 x - 4 x 2

Derivando a equação, temos:

A ' = 200 - 8 x

Agora vamos derivar e igualar a zero!!

Passo 3

Igualando a equação da área a zero a fim de encontrarmos o ponto máximo, temos:

0 = 200 - 8 x ∴

x = 200 8 ∴

x = 25

Substituindo x na equação do perímetro, temos:

4 * 25 + 3 y = 200 ∴

3 y = 100

y = 100 3

Dessa forma, temos as dimensões de cada galpão x = 25 e y = 100 3 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x = 25

y = 100 3

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