Uma refinaria de petróleo está em A na margem norte de um rio reto que tem de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento em B na margem sul do rio, a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto é sobre a terra, até um ponto P na margem norte do rio e sob o rio até o tanque.

1. Obtenha o custo total de construção do oleoduto, , em função da distância , entre A e P.
2. Determine os pontos críticos de em .
3. Qual o valor de que minimiza o custo de construção do oleoduto?

Nossa distância sobre a água então é:

Então o custo desse trecho é:

Então o custo total é a soma do custo do trecho sobre terra e do trecho sob o rio:

Melhorando esse formato ai:

Essa é a função do nosso custo! Já foi a letra “a”, certo?

Agora vamos para a letra “b”, ele deseja saber quais são os pontos críticos para essa função de custo:

Vamos relembrar que os pontos críticos existem quando encontramos um ponto onde a derivada da função não existe ou um ponto onde a derivada da função é igual a zero. Então o nosso primeiro passo é calcular a derivada dessa função de custo:

Veja que podemos reescrever essa raíz quadrada como:

Derivando essas parcelas, vamos usar a Regra da Cadeia:

Simplificando isso aí:

Agora que sabemos a derivada da função, queremos saber onde ela não existe ou onde ela é igual a zero. Vamos começar pensando que valores de fazem com que essa função não exista, ela não existirá, caso o denominador seja igual a zero:

Vamos elevar ao quadrado esses dois lados:

Se nós desenvolvermos esse produto notável:

Usando Bhaskara, vamos encontrar:

Como temos uma raíz quadrada de um valor negativo, teremos duas raízes do polinômio como números complexos, logo, essas raízes não estão dentro do intervalo .

Não temos pontos críticos através da inexistência da derivada, então vamos tentar encontrar pontos onde a derivada é igual a zero:

Vamos passar o denominador para o outro lado:

Vamos colocar essa primeira parcela dentro da raiz quadrada em evidência:

Podemos retirar ela de dentro da raiz quadrada:

Como:

Então podemos cortar esse elemento das duas parcelas:

Vamos passar todos os números para o outro lado:

E como vamos terminar de resolver isso? Elevar os dois lados ao quadrado:

Então:

Olhando bem para essa igualdade:

Chegamos em uma igualdade nos denominadores:

Então temos que resolver através de Bhaskara:

Então temos as seguintes raízes possíveis:

Lembrando que nosso intervalo é de a , então a única raiz que podemos usar como ponto crítico é:

Logo, chegamos a conclusão que esse é o único ponto crítico!

Agora que já encontramos o valor do ponto crítico, nossa letra “c” nos pede o valor de que minimiza o custo de construção do oleoduto, ou seja, o ponto mínimo da função de custo:

Mas para encontrar esse ponto mínimo, temos que usar o ponto crítico que encontramos no item anterior! Agora você já viu sentido no que estamos fazendo? Beleza!

E como nós verificamos se esse ponto é mínimo? Através do teste da primeira derivada, se:

E

Ai sim podemos afirmar que é ponto de mínimo!

Então vamos testar isso na derivada:

Para um ponto maior que o ponto crítico:

Calculando isso:

Agora vamos calcular para um ponto menor que o ponto crítico:

Então:

Como o teste da primeira derivada bateu com o que pensamos inicialmente:

E

Sabemos que é um ponto que minimiza o custo!