UFSC – Lista 3.6 – 2021.1 – P11
Achar dois números positivos cuja soma seja e cujo produto seja o maior possível.
Passo 1
Seja dois números quaisquer que chamaremos de e . Queremos que:
E que seja o maior possível. Assim chamaremos de a função que tem o produto de e . Temos que:
Isolando da soma e aplicando em , temos:
Passo 2
Como queremos o produto máximo, podemos maximizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável . Temos então que:
Passo 3
Passo 4
Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja uma função derivável num intervalo e um ponto crítico de neste intervalo, isto é, . Se admite a derivada em , temos:
- Se
- Se
Assim, calculando a segunda derivada de , temos:
Logo, podemos afirmar que é ponto de máximo.
Assim:
Portanto os números que procuramos são: