Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm³ . O material da tampa

e da base vai custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$1, 50 por

centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo.

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular as dimensões de uma caixa de modo a minimizar seu custo de fabricação. Como a caixa fechada tem base quadrada, vamos chamar os lados da base quadrada de a e a altura dos lados, chamaremos de b. Então, como o volume da caixa é a área da base vezes a altura, temos que as medidas a e b têm que satisfazer a relação

E, portanto, temos que as medidas a e b estão restritas por essa relação. Mas e quanto ao custo? Bem, a questão nos diz que cada centímetro quadrado das tampas custam 3 reais e, para o material dos lados são 1,50 reais por cm². Então, o custo total é dado pelo preço por área da base quadrada vezes a área da base quadrada das duas tampas () mais o preço por área das laterais vezes a área dos retângulos da lateral dos 4 lados da caixa (), onde ab é a área de um retângulo lateral. Então, o custo total C(a,b) pode ser escrito como

Temos, então, que a função custo é uma função de duas variáveis. Mas como a e b estão vinculados pela relação do volume, podemos escrever e substituir na função custo, transformando-a em uma função de uma única variável:

Agora que temos a função custo, só precisamos descobrir para qual valor ela é extremizada. E como a gente faz isso? Sabemos que, em um ponto de extremo, a derivada de uma função é nula. Então tudo que precisamos fazer é derivar a função custo e igualar isso a zero! Então vamos lá!