UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 20.
Você planeja fechar um canto do primeiro quadrante com um segmento de reta de 20 unidade de comprimento, que vai de (a, 0) a (0, b). Mostre que a área do triângulo determinada pelo segmento é máxima quando a = b.
Passo 1
Falaii galerinha, bora láa
A área vai ser
Além disso, usando Pitágoras, vamos ter:
Isolando o
Como está no primeito quadrante, vamos pegar a parte positiva
E a área vai ficar:
Onde o valor máximo que pode assumir é , quando a barra estiver toda na vertical e o mínimo é , quando a barra estiver toda na horizontal.
Passo 2
Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.
Começando por achar os pontos críticos:
Vamos derivar usando a regra do produto:
Colocando a raiz como potência:
Passo 3
Não podemos esquecer a regra da cadeia durante a derivação:
Fazendo isso igual a
Passo 4
Multiplicando cruzado:
Pelo intervalo, temos:
Passo 5
Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:
Passo 6
O maior dos valores é quando
Entao o retângulo tem dimensões:
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Resposta
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