Um fabricante produz por semana toneladas de um certo produto. O preço de venda é de unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com por , . O custo de produção é de unidades monetárias. Determine para que o lucro seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.
Passo 1
O cara disse que esse esse lucro é dado pela venda menos o custo. O Custo total é o , já a venda por tonelada é esse , que é basicamente a venda total dividida por toneladas. Assim, o lucro será dado por:
O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:
Aí basta a gente otimizar, né? É só derivar e igualar a . Agora, você deve lembrar do ensino médio que o , famoso do vértice, que é justamente o ponto de máximo ou mínimo (no caso como o termo que multiplica é negativo, a parábola tem boca para baixo e esse é um máximo), tem equação dada por:
Se a gente derivar e igualar a o resultado será o mesmo! Enfim, o lucro máximo será .