UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas Professora Nazaré Bezerra - Lista de Exercícios 12, Questão 3
Deseja-se construir um prédio em forma prisma retangular reto de modo a minimizar as perdas de calor pela superfície do prédio. As fachadas norte e sul perdem calor a uma taxa de por dia; as fachadas leste e oeste perdem por dia a cada dia; já o piso e o teto perdem calor a uma taxa de por dia. Suponha que o volume do prédio deve ser de , que cada fachada deve ter ao menos de comprimento e que a altura do prédio deve ser de no mínimo .
a) Determine e esboce o domínio da função que descreve a perda de calor por dia em
função do comprimento e largura do prédio.
b) Encontre as dimensões que minimizem a perda de calor por dia.
c) Seria possível, removendo a restrição sobre a altura do prédio, projetar um prédio
que tenha menor perda de calor? Justifique.
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma de otimização. O enunciado é bem grande, mas de forma simplificada o que ele tá dizendo é que temos um prédio retangular, com as seguintes restrições de dimensões:
O volume do prédio deve ser de , que cada fachada deve ter ao menos de comprimento e que a altura do prédio deve ser de no mínimo .
Ou seja, se as dimensões forem , então
Além disso, temos as perdas térmicas de cada face do prédio
norte e sul perdem calor
leste e oeste perdem calor
o piso e o teto perdem calor
Show? vamos começar pela letra a)
Passo 2
- Determine e esboce o domínio da função que descreve a perda de calor por dia em
função do comprimento e largura do prédio.
como sabemos quanto cada face perde por área,
norte e sul perdem calor
leste e oeste perdem calor
o piso e o teto perdem calor
então a perda de calor será:
Show? (não esqueçam de contar as duas faces)
Passo 3
Agora, vamos para a letra c)
Se retirarmos a restrição da altura, podemos tentar otimizar usando multiplicadores de lagrange em
Vamos tentar otimizar sem restrições. Lembrando que temos que resolver o sistema
No nosso caso
para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
As derivadas parciais de são:
Passo 4
Com as derivadas que calculamos no passo anterior, podemos montar o sistema para otimizarmos a função
Então o sistema fica
Vamos resolver o sistema. Dividindo a primeira equação pela terceira, obtemos que
dividindo a primeira pela segunda, obtemos que
Juntando esses dois resultados, chegamos a conclusão que
Agora, podemos substituir esses resultados na última condição
Fazendo isso, obtemos:
Ou seja, o nosso mínimo ocorre com . Logo, se retirarmos a restrição de altura do prédio é possível obter uma menor perda de calor.
Passo 5
Agora, vamos para a letra b)
Encontre as dimensões que minimizem a perda de calor por dia. Ou seja, queremos as dimensões que minimizem
sabendo que
Bem, já vimos que o mínimo global ocorre quando . Mas nossa restrição pede que . O que podemos fazer?
Vamos checar os bordos domínio. Isso é, vamos verificar qual das restrições entre geram o mínimo.
Vamos começar com
fazendo isso temos:
usando o fato que
Logo a nossa função fica
que é uma função de uma variável. Vamos minimizar. Derivando e igualando a zero descobrimos que
O que implica que
Logo chegamos aos pontos
,
No caso as outras condições irão gerar valores maiores para . Então os valores acima gram o mínimo da função considerando as restrições.
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento acima