Problemas de Otimização
Considere a função definida por . Considere a função tal que é a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Determine o valor máximo e o valor mínimo da função .
Passo 1
Vamos analisar o seguinte: A inclinação da reta tangente a determinado gráfico em determinado ponto é dado pela sua respectiva derivada no mesmo ponto. Ou seja, segundo a definição que o cara deu para nós teríamos que essa função é a derivada de :
Ou seja, será, pela Regra da Cadeia, o seguinte:
Passo 2
A questão pedia que achássemos o máximo e o mínimo de . Para tanto temos que otimizá-la, derivando e igualando a . Derivamos pela Regra do Quociente:
Como o denominador está elevado a um expoente par nós vemos que esse termo será sempre positivo. Assim, o sinal de depende unicamente de . Sabendo que existem duas raízes para o termo, que é uma parábola com concavidade para baixo, sabemos que a derivada é positiva entre as raízes e negativa no resto do domínio.
Passo 3
Enfim, em dois pontos temos , e . Sendo positiva em e negativa para e .
Assim, como a derivada é negativa antes de e positiva depois, esse é um ponto de mínimo. Como antes de a derivada é positiva e depois é negativa, esse é um ponto de máximo.
O máximo de é em : .
O mínimo de é em : .