UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.39
Determine os pontos sobre a parábola que estão mais próximos e distantes do ponto para . Qual é a menor distância? E a maior distância? Faça um desenho representando todos os pontos envolvidos.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de mínimo e máximo da função distância entre a parábola e o ponto .
Pra isso, nós vamos precisar lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
Em nosso caso, consideraremos um ponto sobre a parábola e . Então, podemos reescrever a função distância como:
Sendo assim, para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função , vamos considerar uma função . Desse modo, vamos ter que encontrar os mínimos/máximos da função dada por:
E pra isso vamos derivar , encontrar seus pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para saber se são pontos de máximo ou de mínimo.
Vamos lá!
Passo 2
Como é uma função contínua em , pelo Teorema do Valor Extremo, assume seus valores de máximo e mínimos absolutos em .
Então, derivando e calculando seus pontos críticos em , temos:
Dessa forma, vamos obter:
ou
Passo 3
Pra usar o teste da segunda derivada, vamos derivar novamente :
Aplicando os pontos críticos , e , temos:
Pelo teste da segunda derivada, nos casos em que é negativa, temos um ponto de máximo e nos casos em que é positiva, temos um ponto de mínimo. Então, podemos afirmar que é um ponto de máximo local da função e são mínimos locais.
Substituindo esses valores de na função , vamos obter:
Passo 4
Por fim, precisamos averiguar os valores que assume nos extremos do intervalo :
Portanto, os mínimos absolutos de são assumidos em e os máximos absolutos de são assumidos em .
Concluímos então que os pontos sobre a parábola que estão mais próximos e distantes do ponto , para , são e , respectivamente.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉