Mostre que dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que provemos que dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.

Para isso, temos que saber que a área A de um retângulo de lados x e y é dada por:

A = x y

E, por outro lado, o perímetro P desse retângulo é (já isolando uma variável):

P = 2 x + 2 y ∴

y = P 2 - x

Assim, substituindo na expressão da área, obteremos a seguinte função:

A x = x P 2 - x ∴

A x = P x 2 - x 2

Dessa forma, temos que encontrar o valor da área máxima (pois veja que a função acima descreve uma parábola com concavidade voltada para baixo).

Em outras palavras, devemos derivar a função e igualar a zero para encontrar os valores das variáveis para a maior área possível!

E aí, bora lá??

😉

Passo 2

Então... derivando a função e igualando a zero, temos:

d A d x = P 2 - 2 x ∴

P 2 - 2 x = 0 ∴

x = P 4

Substituindo na equação do perímetro, podemos encontrar o valor de y :

P = 2 x + 2 y ∴

P = 2 P 4 + 2 y ∴

y = P 4

Perceba que:

x = y = P 4

Ou seja, trata-se de um retângulo com lados iguais!!! Ou seeeja, um quadrado!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Resposta nos passos

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