Um fabricante de latas cilíndricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume V0 . Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como esta, e, portanto, de metal necessário para fabricá-la?

Passo 1

E aí, galera!! Tudo bem?

Primeiro passo é a gente pensar como calculamos o volume de um cilindro? Área da base multiplicada pela altura, certo? Então vamos definir um cilindro de raio r e altura h.

V 0 = π r 2 h

E qual é a área da superfície da lata?

A = 2 π r h + 2 π r 2

Vamos isolar h na equação do volume e depois substituir na área.

h = V 0 π r 2

Agora, teremos ao final uma equação de área que será função apenas de r .

A = 2 π r V 0 π r 2 + 2 π r 2

A = 2 V 0 r + 2 π r 2

Passo 2

Assim, basta minimizar essa função f ( r ) que é a nossa equação da área.

A = 2 V 0 r + 2 π r 2

E como minimizamos ou maximizamos uma função? Encontrando sua derivada, igualando a zero, obtendo o valor de r e depois substituir dentro da A ( r ) .

A ' r = - 2 V 0 r 2 + 4 π r = 0

- 2 V 0 + 4 π r 3 = 0

r 3 = 2 V 0 4 π = V 0 2 π

r = V 0 2 π 1 3

Ou seja, nosso raio deve ser V 0 2 π 1 3 e altura deve ser:

h = V 0 π r 2 = V 0 π V 0 2 π 2 3

Resposta

r = V 0 2 π 1 3

h = V 0 π V 0 2 π 2 3

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