Encontre o ponto P da curva y = 3 x ,   x > 0 , que está mais próximo da origem.

Passo 1

E aí, galera!! Tudo bem?

A origem é dada pelo ponto ( 0,0 ) , certo?

E a gente sabe que a distância entre os pontos em um dado plano cartesiano pode ser escrita por:

d = x - x o 2 + y - y o 2

Onde x , y são os pontos finais de interesse e o subscrito indica o ponto de origem, no nosso caso temos x , y = 0 , 3 x e x 0 , y 0 = ( 0,0 ) .

Portanto, teríamos a distância dada por:

d = x 2 + 9 x 2

Passo 2

Assim, basta minimizar essa função f ( x ) que está dentro da raiz quadrada.

f x = x 2 + 9 x 2

E como minimizamos ou maximizamos uma função? Encontrando sua derivada, igualando a zero, obtendo o valor de x e depois substituir dentro da f ( x ) .

f ' x = 2 x - 18 x 3 = 0

2 x 4 - 18 = 0

x 4 = 9

x = 3 2 4 = 3

Então, x = 3 minimizará a distância, portanto, esse ponto será: x , 3 x = 3 , 3 3 .

Resposta

3 , 3 3

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