Encontre o ponto sobre a curva (onde ) que está mais próximo do ponto .
Passo 1
A distância entre um ponto e o ponto é dada por
Passo 2
Já que queremos a menor distância, podemos minimizar essa função. No entanto, essa derivada vai ser chata de fazer. É mais fácil minimizar a função
Ta, mas como que eu faço pra derivar isso se tem e no meio dessa bagunça? Precisamos de uma letra só, certo? Sim, por isso vamos usar a equação da curva e substituir .
Passo 3
Agora podemos derivar .
Os pontos críticos são:
Já que se trata de uma parábola com concavidade para cima, ocorre o seguinte:
Passo 4
O ponto onde a derivada muda de negativa para positiva é , logo esse é um mínimo da função. No ponto o valor de vale:
Resposta
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