Encontre o ponto sobre a curva y = x^(3/2) (onde x >= 0 ) que está mais próximo do ponto (4, 0) .

Passo 1

A distância entre um ponto ( x ,   y ) e o ponto ( 4 ,   0 ) é dada por

d = x - 4 2 + ( y - 0 ) ²

d = x 2 - 8 x + 16 + y ²

d = x 2 + y ² - 8 x + 16

Passo 2

Já que queremos a menor distância, podemos minimizar essa função. No entanto, essa derivada vai ser chata de fazer. É mais fácil minimizar a função

F x = d 2 = x 2 + y ² - 8 x + 16

Ta, mas como que eu faço pra derivar isso se tem x e y no meio dessa bagunça? Precisamos de uma letra só, certo? Sim, por isso vamos usar a equação da curva e substituir y = x 3 2 .

F x = x 2 + x 3 2 2 - 8 x + 16

F x = x 2 + x ³ - 8 x + 16

Passo 3

Agora podemos derivar F .

F ' x = 2 x + 3 x ² - 8

Os pontos críticos são:

F ' x = 0

2 x + 3 x 2 - 8 = 0

x 1 = - 2

x 2 = 4 3

Já que se trata de uma parábola com concavidade para cima, ocorre o seguinte:

f ' x < 0 :   - 2 < x < 4 3

f ' x > 0 : x < - 2   e   x > 4 3

Passo 4

O ponto onde a derivada muda de negativa para positiva é x = 4 3 , logo esse é um mínimo da função. No ponto x = 4 3 o valor de y vale:

y = 4 3 3 2

y = 2 2 3 2 3 3 2

y = 2 ³ 3 3 2

y = 8 3 3 = 8 3 3               →               y = 8 3 9

Resposta

4 3 ,   8 3 9

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