UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 13.
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.
Passo 1
Galerinha iremos utilizar o método de otimização. Vamos encontrar a área do maior retângulo inscrito em um semicírculo de raio sem usar fórmulas específicas.
Suponha que o semicírculo esteja na parte superior do plano cartesiano, com o centro do semicírculo no ponto
Agora, considere um retângulo inscrito nesse semicírculo, com um dos lados na base do semicírculo e o vértice oposto no topo do semicírculo.
Se a base do retângulo tiver comprimento a altura do retângulo será e o ponto superior direito do retângulo será
Nesse caso, a parte inferior direita do retângulo estará no ponto
A área do retângulo é dada por
A equação do semicírculo é já que cada ponto no semicírculo está a uma distância do centro
Passo 2
Agora, podemos resolver esse problema de otimização maximizando a área \(A\) sujeita à equação do semicírculo:
Para fazer isso, podemos isolar na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão para na primeira equação da área:
Agora, para encontrar o valor máximo de podemos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, resolvendo para
Agora que encontramos o valor de podemos encontrar usando a equação
Agora, temos os valores de que maximizam a área
A área máxima do retângulo é:
Portanto, a área máxima do retângulo inscrito em um semicírculo de raio .
Resposta
Portanto, a área máxima do retângulo inscrito em um semicírculo de raio .