Uma ilha situada a da costa deve ter um serviço de barcos para uma cidade A (figura ao abaixo). Se os barcos têm velocidade média de e os carros uma velocidade média de , onde deverá estar situada a estação de barcos na costa, a fim de tornar a via a mais rápida possível?
Passo 1
Observe a figura abaixo, que representa melhor a situação descrita no enunciado.
Para achar o percurso mais rápido temos que descobrir o tempo mínimo para a pessoa fazer a travessia de barco e depois seguir de carro até . Observe que o percurso de barco corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e . Então o percurso de barco mede
Sendo a velocidade do barco igual a , o tempo pra fazer a travessia é
O trecho que será percorrido de carro é . Logo, o tempo gasto de carro é
Finalmente, o tempo total para chegar na cidade é
Passo 2
Agora podemos derivar para depois encontrarmos o ponto onde seu valor é mínimo.
Em posse da derivada, vamos igualar ela a zero e achar os pontos críticos.
Passo 3
Agora vamos descobrir se o ponto encontrado é um mínimo da função analisando o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
- Antes de:
- Depois de:
Portanto, é um mínimo local.
Passo 4
Sabendo que a distância da estação de barcas até a idade é
podemos descobrir esse valor substituindo pelo valor encontrado anteriormente.
Então a estação está situada a
da cidade .