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Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 16

Considere retângulos inscritos em um triângulo retângulo com os dois lados do retângulo sobre os catetos do triângulo e o vértice A em comum. Determine as medidas do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 3 cm e 4 cm. Qual a área do retângulo encontrado? (Dica: use semelhança de triângulos para montar a função a ser otimizada).

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver esse problema de otimização. Antes tudo vamos desenhar nosso problema:

Passo 2

Por semelhança de triangulo, conseguimos isolar uma das variáveis:

x 4 = 3 - y 3

3 x = 12 - 4 y

x = 4 - 4 y 3

Agora podemos substituir na formula da área de retângulo:

A = x y

A = y ( 4 - 4 y 3 )

A = 4 y - 4 y 2 3

Passo 3

Agora que temos uma relação de uma variável só, podemos maximizar essa função derivando-a e igualando a zero:

A ' y y = 4 - 8 y 3 = 0

8 y = 12

y = 3 2 c m

Encontrando x e substituindo as dimensões na fórmula da área:

x = 4 - 4 y 3

x = 4 - 4 ∙ 3 2 3

x = 2   c m

A = x y = 3 2 2 = 3   c m 2

Resposta

A = 3   c m 2

x = 2   c m

y = 3 2 c m

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