Escreva o número 8 como soma de dois números reais positivos de tal modo que a soma do quadrado do primeiro com o cubo do segundo seja mínima. É possível fazer essa decomposição de modo que a soma seja máxima?

Passo 1

Vamos escrever exatamente o que o enunciado nos diz: primeiro a soma de dois números reais e positivos que devem dar 8.

x + y = 8

Depois ele diz que a soma do quadrado do primeiro com o cubo do terceiro tem que dar um valor mínimo, que vamos chamar de m .

x 2 + y 3 = m

Vamos isolar x da primeira expressão e substituir na expressão x 2 + y 3 = m

x = 8 - y

8 - y 2 + y 3 = m

64 - 16 y + y 2 + y 3 - m = 0

Passo 2

Vamos derivar agora nossa equação!!

- 16 + 2 y + 3 y 2 = 0

Resolvendo essa equação, vamos encontrar:

3 y 2 + 2 y - 16 = 0

Δ = b 2 - 4 a c = 196

y = - b ± Δ 2 a = - 2 ± 196 2 ∙ 3 = - 2 ± 14 6

y 1 = - 2 + 14 6 = 2

y 2 = - 2 - 14 6 = - 8 3

Como queremos o valor mínimo, vamos pegar a menor raiz da nossa equação de segundo grau e vamos encontrar o valor de x

x = 8 - - 8 3 = 8 + 8 3

x = 32 3

Resposta

y = - 8 3

x = 32 3

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