UFSC – Lista 3.9 – 2020.2 – 9
Ache as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado com 100 de cerca.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Essa questão vai ser muito parecida com a questão anterior dessa mesma seção, então veja a resolução de uma e tente fazer a outra ;)
Passo 2
Precisamos associar a área do retângulo aos valores das laterais do retângulo. Seja um retângulo de área , comprimento e largura :
Além disso sabemos que temos de cerca, então o perímetro do retângulo não pode passar de .
Agora precisamos deixar a equação da área com apenas uma variável. Vamos isolar o em função de na segunda equação:
Agora substituindo na nossa equação:
Voilá! Temos a função do jeito que a gente quer. Perceba que é a equação de uma parábola com concavidade para baixo, então teremos um ponto onde a derivada se anula. Vamos fazer a derivada.
Passo 3
Agora igualando a :
Daí temos o nosso ponto de máximo! Vamos verificar na equação da área:
Passo 4
Agora vamos achar o valor de a partir da 2ª equação:
Daí vemos que na verdade teremos um quadrado de lado . E prontinho, cabôsse!
Resposta
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