Questão 1) Determinar o ponto da curva , com , mais próximo da origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Se você desenhar essa curva, só para termos uma noção
queremos algum ponto dessa parte da parábola que mais se aproxima da origem.
Trata-se aqui de uma questão de otimização, e como toda questão de otimização, precisamos encontrar qual função iremos otimizar. Bem, o próprio problema nos disse que queremos o ponto da curva de menor distância.
Distância de um ponto a origem é sempre dado por...
Bem, esse ponto de menor distância está em cima da curva onde ...
Cara, trabalhar com raiz não é legal, e pensa comigo, o ponto que minimiza a distância, também minimiza o quadrado dela...
Então, a função que iremos minimizar é a distância ao quadrado...
Passo 2
Vamos então agora, procurar quais são os pontos críticos dessa função fazendo:
Derivando, portanto, a função...
Igualando essa derivada a ...
Os valores de que zeram essa bricadeira é...
Mas aí surge uma dúvida, será que de fato são mesmo todos pontos críticos?
Passo 3
A verdade é que não. O motivo é simples de se entender:
O enunciado quer a otimização apenas a parte da parábola onde , o que já exclui de ser um ponto crítico.
Quanto ao ponto e ao , bem vamos testar:
Já o outro...
Então note, quem é o menor? Sim, , pois ele tem uma parcela negativa. Logo
De fato é o ponto que mais se aproxima da origem, sacou?
O desse ponto...