2 e centro na origem. Seja a medida indicada na figura abaixo:

1. Determine o domínio e a expressão da função que fornece a área do retângulo em termos da variável .
2. Determine a área do retângulo de maior área possível que pode ser escrito em uma semicircunferência de raio e cento na origem.

Agora é só unir o tudo naquela fórmula da área do retângulo. Vai ficar:

Falta achar o domínio dessa função que achamos pra área do retângulo. A única restrição que tem que ser feita é:

Portanto:

Mas como estamos tratando de medidas, os valores negativos e o zero não podem ser considerados, certo? Então, o domínio passa ser:

Ou

b) Peraí, vamos entender isso direito. O enunciado pediu pra calcular a área do retângulo de maior área possível dentro de uma semicircunferência de raio . Então ele pediu o valor MAXIMO da função área? Sim! É isso mesmo, vamos achar o valor de máximo dessa função. Pra começar temos que derivar:

Agora igualamos isso a zero pra encontrar os pontos críticos:

Repare que a única maneira da igualdade acima ser verdadeira é o numerador ser zero. Então podemos fazer apenas:

Tendo os pontos críticos, podemos fazer o teste da primeira derivada para descobrir se são máximos ou mínimos. Observe que na expressão

8 - 4 x 2 :

• O sinal é negativo antes de e depois fica positivo, portanto esse ponto é um mínimo local
• O sinal é positivo antes de e depois fica negativo, portanto esse ponto é um máximo local

Agora que descobrimos o ponto de máximo podemos substitui-lo na função da área, assim, encontrar a maior área possível.