Um empresário deseja abrir uma pequena fábrica. Segundo um estudo feito por ele, se x funcionários forem contratados, seu lucro L ( x ) anual em reais será de

L x = 90 x 2 - x 3 ,           0 ≤ x ≤ 80

O estudo considera a possibilidade de contratar até 80 funcionários. Quantos funcionários devem ser contratados para que o lucro anual seja o maior possível? E qual o valor desse lucro?

Passo 1

Opaaaa, vamos lá!! Como a gente pode sempre encontrar um valor de máximo e mínimo? Podemos calcular o ponto crítico de uma função, ou seja, derivar a função e igualar a zero, e aí com isso, vamos obter o valor de x que dará o maior valor possível de L ( x ) , ou seja, o lucro.

Passo 2

Dada a função lucro, vamos calcular a derivada.

L ' x = 180 x - 3 x 2 = 0

3 x 60 - x = 0

Com isso obtemos as raízes:

x 1 = 0

x 2 = 60

Como temos uma função lucro, queremos o maior valor, certo?

Portanto, agora substituímos o valor na função lucro e tcharaaaaammmm, encontramos o maior lucro possível, onde x = 60 significa que o maior lucro será quando tivermos 60 funcionários.

Passo 3

L m á x x = 60 = 90 60 2 - 60 3 = 19224000

Resposta

L m á x = 19224000

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