Jurema tem uma folha de cartolina retangular com dimensões . Ela gostaria de fazer uma caixa sem tampa cortando quadrados iguais nos quatro cantos da folha e dobrando para cima os quatro lados. Determine as dimensões da caixa que Jurema pode fazer de modo que seu volume seja máximo.
Passo 1
Chamaremos de o lado de cada quadrado que será cortado. Para fazer a caixa que deseja, Jurema terá que cortá-los da seguinte maneira:
Com isso, podemos dizer que as dimensões da caixa serão as seguintes dimensões:
Observe que tem que ser menor que , pois, caso contrário, o , que é o menor, seria negativo. Assim,
Passo 2
Agora podemos escrever a equação do volume:
Como precisamos saber o volume máximo, vamos derivar essaa função para encontrar seus pontos críticos e ver se eles são extremos.
Assim,
Passo 3
Analisando o sinal de :
Em a função muda de crescente (positiva) para decrescente (negativa). Portanto, esse ponto é ponto de máximo.
O outro ponto crítico não está no domínio , pois
Logo, não precisamos analisa-lo.
Passo 4
Agora é só substituir o valor de máximo encontrado para descobrir as dimensões da caixa.