Considere dois números reais positivos tais que
Queremos minimizar a quantidade . Para isso:
- Determine uma função de uma variável tal que o valor mínimo de corresponda à solução do problema acima. Indique também o domínio dessa função.
- Determine o valor mínimo de , justificando sua resposta.
Passo 1
- Primeiro, observe quando o enunciado diz que queremos achar o mínimo da função , que possui duas variáveis. O item (a) pede pra gente determinar uma função de uma variável cujo valor mínimo seja o mesmo de . Então, na verdade, o que o item (a) realmente pede é que a gente transforme a função em uma função de apenas uma variável. E como vamos fazer isso? Usando a relação que foi dada:
- Agora sim vamos achar o mínimo de . A primeira coisa que precisamos fazer é achar os pontos críticos, ou seja, os candidatos a serem máximos e mínimos. Esses pontos são obtidos fazendo isso aqui ó:
Agora, substituindo em obtemos:
Pronto! Agora podemos colocar no lugar de , só pra função ficar mais familiar, e temos:
Passo 2
Para determinar o domínio da função que achamos, é muito importante lembrar que e são números reais POSITIVOS. Isso significa que os números negativos não estarão no domínio dessa função. Além disso, tem a fração e como não existe divisão por zero, o também não faz parte do domínio. Assim, sobram os números reais positivos e maiores que zero.
Passo 3
Então vamos pôr a mão na massa!
Show! Descobrimos que os pontos críticos são e , mas como no domínio não tem números negativos, o ponto será descartado. Resta analisar se é de fato um mínimo.
Passo 2
Para isso, a gente pode usar dois métodos diferentes, lembra deles? Tem o Teste da Primeira Derivada, que analisa os sinais da derivada, e o Teste da Segunda Derivada, que analisa o sinal da segunda derivada no ponto crítico em questão. Como é facilmente derivável, vamos usar o teste da segunda derivada.
Como , então é um ponto de mínimo local.
Achou que tinha acabado? Nada disso! Fica esperto no que o enunciado está pedindo: ele quer o valor da função no seu ponto de mínimo. Então agora que achamos como um mínimo, temos que achar o valor da função nesse ponto:
Resposta
- e
- 16