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Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Cálculo 1, AV3 - 2019.1, Questão 2

Uma escada de   5   m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. A base da escada, que está ́a apoiada no chão, está a sendo empurrada na direção da parede a uma

velocidade constante de − 0 ,   5   m / s . Com que velocidade o topo da escada sobe quando a base da escada está   3 m da parede?

  1. 11 / 4   m / s
  2. - 3 / 8   m / s
  3. 3 / 8   m / s
  4. 1 / 2   m / s
  5. - 3 / 4   m / s

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez uma envolvendo taxa relacionada

Nosso objetivo é descobrir com que velocidade o topo da escada sobe quando a base da escada está   3 m da parede? Mas para isso, precisamos entender melhor o que está acontecendo.

A nossa escada se move conforme a figura acima, o enunciado diz que está a sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade constante de − 0 ,   5   m / s .

Ou seja, o enunciado já nos diz que é a variação do eixo x , isto é:

d x d t =   − 0 ,   5   m / s

E o que queremos saber é

d y d t

Quando a escada está a 3 m da parede. Bem, vamos trabalhar com isso.

Passo 2

Como a escada tem comprimento fixo igual a 5

E ela faz um triângulo retângulo com a parede, então podemos descobrir a altura da escada quando x = 3 m da parede usando pitágoras. Temos:

25   =   y 2 + 3 2

⇒ y = 4

Ou seja, quando a escada está a 3 m da parede, ela estará a 4 m do chão.

Agora, podemos usar o teorema de pitágoras novamente para encontrar uma relação entre as funções y ( t ) ,   e   x ( t ) . Como elas representam os lados do triângulo formado pela escada, temos:

35   =   x 2 ( t ) + y 2 ( t )

Agora, podemos usar derivadas implícitas para obtermos d y d t

Passo 3

Derivando implicitamente

35   =   x 2 ( t ) + y 2 ( t )

(estamos enfatizando que x , y são funções de t )

Temos:

d d t 35   = d d t   x 2 + d d t y 2

Usando a regra da cadeia, temos:

⇒ 0   = 2 x d d t x   + 2 y d d t y

Olhá só, apareceu o nosso termo de interesse d y d t . Agora só precisamos substituir os valores que calculamos anteriormente. Como queremos d y d t quando a escada está a 3 m da parede, então x = 3

Mas se x = 3 , vimos no passo anterior que y = 4 . E por último, vimos no passo 1 que o enunciado diz que d x d t =   − 0 ,   5   m / s . Substituindo esses valores na equação acima temos:

2 * 3 * ( - 0.5 )   + 2 * 4 * d d t y = 0

⇒ 8 * d d t y = 3

⇒ d y d t = 3 / 8

Então o topo da escada sobe com velocidade 3 / 8   m / s quando a base da escada está   3 m da parede. Valor presente na alternativa c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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