1iii) A reta tangente em x = 0 de g x = e x cos ⁡ x

Passo 1

A questão quer da gente a equação da reta tangente, então vamos modelar esse carinha aqui:

y - y 0 = m x - x 0

Seja x 0 , y 0 o ponto de tangência, como queremos a tangente em x = 0 , vamos ter o ponto:

x 0 , y 0 = x 0 , g x 0

x 0 = 0

x 0 , y 0 = 0 , g 0

Calculando g 0 , temos:

g 0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1.1 = 1

Então o ponto de tangência vai ser 0,1 e logo, a equação da reta tangente fica:

y - 1 = m x

y = m x + 1

Passo 2

Vai faltar então no nosso modelo, só achar a letra m , que é a inclinação da reta tangente. Oras, e o que não é a inclinação da reta tangente do que o valor da primeira derivada no ponto de tangência? Derivando então:

g ' x = e x cos ⁡ x '

Pela regra do produto, temos:

g ' x = e x ' cos ⁡ x + e x cos ⁡ x '

g ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x

E aplicando o ponto de tangência:

g ' 0 = m = e 0 cos ⁡ 0 - e 0 sin ⁡ 0 = 1.1 - 1.0 = 1

Fechou então, a equação da reta tangente vai ser:

y = x + 1

Resposta

y = x + 1

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