Ache a inclinação máxima da curva y = x 3 - 3 x + 3 no intervalo - 3 2 , 5 2 .

Passo 1

Achar a inclinação máxima significa encontrar a maior derivada, pois é ela que dá a inclinação da curva. Então, primeiro vamos derivar a função da curva.

y ' = 3 x 2 - 3

Observe que y ' muda de sinal em x = - 1 e x = 1 pois nesses pontos ela é nula. O sinal da derivada está representado no esquema abaixo.

Passo 2

Sabendo que do ponto x = - 3 2 para o ponto x = - 1 a derivada está diminuindo, visto que em x = - 1 ela é nula, e que de x = 1 para x = 5 2 a derivada está aumentando, o maior valor da derivada só pode ser em uma das extremidades do intervalo (em x = - 3 2 ou em x = 5 2 ). Então vamos substituir esses dois valores na derivada e ver qual é o maior.

y ' - 3 2 = 3 - 3 2 2 - 3 = 3 9 4 - 3 = 27 4 - 12 4 = 15 4

y ' 5 2 = 3 5 2 2 - 3 = 3 25 4 - 3 = 75 4 - 12 4 = 63 4

Como 63 4 > 15 4 a inclinação máxima da curva é 63 4 .

Resposta

63 4

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Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1