Para cada curva abaixo, determine uma equação da reta tangente no ponto requerido.

y e sin ⁡ x = x cos ⁡ y ,   e m   ( 0,0 )

Passo 1

Para determinar a equação da reta tangente à curva ( y e s i n ⁡ ( x )   =   x c o s ( y ) ) no ponto (0, 0), podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontre a derivada implícita em relação a x da equação da curva.

2. Calcule o valor da derivada no ponto (0, 0) para determinar a inclinação da reta tangente.

3. Use o ponto (0, 0) e a inclinação da reta tangente para escrever a equação da reta.

Vamos começar com o passo 1:

A equação dada é ( y e s i n ⁡ ( x )   =   x c o s ( y ) )

Vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:

d d x y e s i n x = d d x x c o s y

Aplicando a regra da cadeia:

e s i n x d y d x + y e s i n x c o s x = c o s y -   x s i n y d y d x

Agora, isole d y / d y

e s i n x d y d x + x s i n y d y d x = c o s ( y )   -   y e s i n x c o s ( x )

d y d x e s i n x + x s i n y = c o s ( y ) - y e s i n x c o s ( x )

d y d x = c o s y -   y e s i n x c o s x e s i n x + x s i n y

Passo 2

Agora, no passo 2, vamos calcular o valor da derivada d y / d x no ponto (0, 0):

d y d x 0,0   = c o s 0 -   0 e s i n 0 c o s 0 e s i n 0 +   0 ⋅ s i n 0   = 1 1   =   1

A inclinação da reta tangente no ponto (0, 0) é 1.

Passo 3

Agora, no passo 3, usamos o ponto (0, 0) e a inclinação 1 para escrever a equação da reta:

A equação da reta tangente é da forma ( y   =   m x   +   b ) , onde ( m ) é a inclinação e ( b ) é o termo independente. Substituindo o ponto (0, 0) na equação da reta, temos ( 0   =   1 ⋅   0   +   b ) , o que implica que ( b   =   0 ) .

Portanto, a equação da reta tangente à curva y e s i n x   =   x c o s y no ponto (0, 0) é:

y   =   x

Resposta

y   =   x

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