UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 2a
Para cada curva abaixo, determine uma equação da reta tangente no ponto requerido.
Passo 1
Para determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (0, 0), podemos seguir os seguintes passos:
1. Encontre a derivada implícita em relação a x da equação da curva.
2. Calcule o valor da derivada no ponto (0, 0) para determinar a inclinação da reta tangente.
3. Use o ponto (0, 0) e a inclinação da reta tangente para escrever a equação da reta.
Vamos começar com o passo 1:
A equação dada é
Vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, isole
Passo 2
Agora, no passo 2, vamos calcular o valor da derivada no ponto (0, 0):
A inclinação da reta tangente no ponto (0, 0) é 1.
Passo 3
Agora, no passo 3, usamos o ponto (0, 0) e a inclinação 1 para escrever a equação da reta:
A equação da reta tangente é da forma onde é a inclinação e é o termo independente. Substituindo o ponto (0, 0) na equação da reta, temos o que implica que .
Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto (0, 0) é: