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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 2b

Para cada curva abaixo, determine uma equação da reta tangente no ponto requerido.

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   n o   p o n t o   ; x 0 ,   y 0

Passo 1

A equação fornecida x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1     representa uma hipérbole no plano. Para determinar a equação da reta tangente no ponto ( x 0 ,   y 0 )   , vamos seguir os seguintes passos:

1. Encontre a derivada implícita da equação da hipérbole.

2. Substitua as coordenadas x 0 e   y 0 para calcular a inclinação da reta tangente.

3. Use a inclinação e o ponto x 0 ,   y 0   para escrever a equação da reta tangente.

Vamos começar com o passo 1:

Vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:

d d x   x 2 a 2 - y 2 b 2 = d d x ( 1 )  

Simplificando:

2 x a 2 - 2 y b 2 ⋅ d y d x = 0

Agora, isolando   d y / d x

d y d x = 2 x a 2 ⋅ b 2 2 y = b 2 x a 2 y

Passo 2

No passo 2, vamos substituir x 0   e   y 0 na derivada d y / d x para calcular a inclinação da reta tangente no ponto x 0 ,   y 0

d y d x x 0 ,   y 0 = b 2 x 0 a 2 y 0

Passo 3

Agora, no passo 3, use a inclinação b 2 x 0 / a y 0   e o ponto x 0 ,   y 0 para escrever a equação da reta tangente:

A equação da reta tangente é y - y 0 = m ( x - x 0 ) onde m é a inclinação.

Substituindo a inclinação b x 0 / a y 0   e as coordenadas do ponto x 0 ,   y 0

y - y 0 = b 2 x 0 a 2 y 0 ( x - x 0 )

Isolando y :

y = y 0 + b 2 x 0 a 2 y 0 ( x - x 0 )

Portanto, a equação da reta tangente à hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

no ponto x 0 ,   y 0   é:

y = y 0 + b 2 x 0 a 2 y 0 ( x - x 0 )

Resposta

y = y 0 + b 2 x 0 a 2 y 0 ( x - x 0 )

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