1. Em cada um dos itens abaixo, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x₀ .

l. f(x) = e^x, x0 = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui a gente precisa achar a equação da reta tangente a um determinado ponto da função dada.

Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, x 0 e y 0 me indicam a coordenada no gráfico do ponto que eu quero achar a reta e y ' x 0 é a derivada no ponto.

Ou seja, para resolver essa questão temos que derivar a nossa função, ver o valor dela no ponto e depois substituir na fórmula.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos achar quem é x 0 e y 0 ! Na verdade, o x 0 nós já sabemos porque o enunciado nos contou:

x 0 = 2

Agora para achar quem é y 0 precisamos substutuir x = 2 na função:

y 0 = e x 0

y 0 = e 2

Passo 3

Para achar o nosso y ' x 0 precisamos derivar a função:

y = e x

Derivando,

y ' = e x

Como x 0 = 2 , temos

y ' x 0 = e x 0

y ' 2 = e 2

Agora vamos substituir tudo isso na fórmula!

Passo 4

A equação da reta tangente tem essa cara:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo os valores, ficamos com

y - e 2 = e 2 x - 2

y = e 2 x + e 2

y = e 2 x + 1

Prontinho!

Resposta

y = e 2 x + 1

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