1. Em cada um dos itens abaixo, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x0 .

k. f(x) = 1 / (x + 1), x0 = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui a gente precisa achar a equação da reta tangente a um determinado ponto da função dada.

Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, x 0 e y 0 me indicam a coordenada no gráfico do ponto que eu quero achar a reta e y ' x 0 é a derivada no ponto.

Ou seja, para resolver essa questão temos que derivar a nossa função, ver o valor dela no ponto e depois substituir na fórmula.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos achar quem é x 0 e y 0 ! Na verdade, o x 0 nós já sabemos porque o enunciado nos contou:

x 0 = 2

Agora para achar quem é y 0 precisamos substutuir x = 2 na função:

y 0 = 1 x 0 + 1

y 0 = 1 2 + 1 = 1 3

Passo 3

Para achar o nosso y ' x 0 precisamos derivar a função:

y = 1 x + 1

Para derivar vamos aplicar a regra do quociente:

y ' = 1 ' x + 1 - 1 x + 1 ' x + 1 2

y ' = 0 x + 1 - 1 1 x + 1 2

y ' = - 1 x + 1 2

Como x 0 = 2 , temos

y ' x 0 = - 1 x 0 + 1 2

y ' 2 = - 1 2 + 1 2

y ' 2 = - 1 9

Agora vamos substituir tudo isso na fórmula!

Passo 4

A equação da reta tangente tem essa cara:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo os valores, ficamos com

y - 1 3 = - 1 9 x - 2

y = - 1 9 x + 5 9

Prontinho!

Resposta

y = - 1 9 x + 5 9

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