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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.40b

Considere a curva dada pela equação

x - A 2 y 3 + x y - B + x = A .

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto ( A ,   B ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra encontrar a equação da reta tangente à curva x - A 2 y 3 + x y - B + x = A no ponto ( A ,   B ) . Pra isso, precisamos lembrar que a equação da reta tem a forma geral:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é o coeficiente angular da reta, que é igual a derivada d y d x no ponto. Além disso, nesse caso vamos ter y 0 = B e x 0 = A . Então, só nos resta encontrar o coeficiente angular, derivando a função implicitamente a aplicando o ponto ( A ,   B ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a equação x - A 2 y 3 + x y - B + x = A implicitamente, em relação a x :

2 x - A y 3 + 3 x - A 2 y 2 d y d x + y + x d y d x - B = 0

Colocando d y d x em evidência, vamos ter:

d y d x 3 x - A 2 y 2 + x = - 2 x - A y 3 - y + B

d y d x = - 2 x - A y 3 - y + B 3 x - A 2 y 2 + x

Expandindo, temos:

d y d x = 2 A y 3 + B - 2 x y 3 - y - 1 3 A 2 y 2 - 6 A x y 2 + 3 x 2 y 2 + x

Agora substituindo x = A e y = B , temos que:

d y d x x = A ,   y = B = 2 A B 3 + B - 2 A B 3 - B - 1 3 A 2 B 2 - 6 A A B 2 + 3 A 2 B 2 + A

Simplificando:

d y d x x = A ,   y = B = - 1 A

Esse é o nosso coeficiente angular da reta tangente no ponto. Então, nossa equação da reta vai ficar:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - B = - 1 A ( x - A )

Ou

y = - 1 A x - A + B

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = - 1 A x - A + B

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