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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P2, 2020.2, questão 2b

Considere y = f ( x ) na equação y . s e n ( x )   +   3 y +   x . l n ( y )   -   3   =   0 e determine:

(a) f ( 0 )

(b) a derivada y ' = f   ' ( x )

(c) a equação da reta tangente ao gráfico de   f no ponto ( 0 ,   f ( 0 ) )

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo tranquilo?

Bom, devemos primeiramente lembrar o que é uma função implícita. Esse tipo de função nada mais é que uma função de várias variáveis, em que a saída da função depende de duas ou mais entradas. O objetivo dessa questão é obter a equação da reta tangente no ponto ( 0 ,   f ( 0 ) ) .

Para resolver essa questão precisamos derivar primeiramente a função. Para isso basta entender como derivar implicitamente uma função. Dessa forma, basta fazer

d d x y . s e n x +   3 y +   x . l n y -   3 = d d x ( 0 )

Assim, vamos derivar a função em relação a   x .

d d x y . s e n x + d d x 3 y + d d x x . l n y - d d x ( 3 ) = d d x ( 0 )

Vamos calcular cada derivada separadamente para melhor entendimento nos próximos passos

Passo 2

Pela regra do produto:

d d x y . s e n x = 1 ∙ y ∙ y ' ∙ s e n x + y y c o s x = y ∙ y ' ∙ s e n x + y 2 c o s ( x )

Passo 3

Na próxima expressão não temos x multiplicando y , logo é uma derivada de constante:

d d x 3 y = 3 y y

Passo 4

A terceira expressão também necessita da regra do produto.

d d x x . l n y = 1 ∙ ln ⁡ y + x ∙ 1 y ∙ y ∙ y ' ∙ 0 = y ∙ ln ⁡ y + x y ∙ y ∙ y '

Passo 5

Por fim,

d d x 3 = 0

d d x 0 = 0

Passo 6

Agora devemos isolar a derivada y ’ .

y ∙ y ' ∙ s e n x + y 2 c o s x + y ∙ ln ⁡ y + 3 y y + x y ∙ y ∙ y ' - d d x ( 3 ) = 0

y ' ( y s e n x + y ∙ x y ) + y 2 c o s ( x ) + y ∙ ln ⁡ y = 0

y ' = - y 2 c o s x - y ∙ ln ⁡ y y s e n x + x + 3 y y

Passo 7

Bom, a f x , y = 0 é a forma implícita da função y = f ( x ) . Devemos obter a f ( 0 ) da função apresentada no enunciado.

Bem, como y = f ( x ) , então podemos substituir a f ( 0 ) na expressão. Assim, vamos substituir 0 no lugar do x .

y . s e n ( x )   +   3 y +   x . l n ( y )   -   3   =   0

y . s e n ( 0 )   +   3 y +   0 . l n ( y )   -   3   =   0

O segundo passo é reorganizar

Como, sen ⁡ ( 0 ) = 0

y . 0 +   3 y +   0 . l n ( y )   -   3   =   0

  3 y -   3   =   0

O terceiro passo, pessoal é somente isolar y . Para isso precisaremos aplicar a função logarítmica em cambos os lados.

3 y -   3   =   0

Somando 3 em ambos os lados

3 y -   3 + 3 =   0 + 3

3 y =   3

Logo,

y = 1

Passo 8

Vamos agora substituir o ponto ( 0 ,   f ( 0 ) ) para obter a inclinação da reta

y ' = - y 2 c o s x - y ∙ ln ⁡ y y s e n x + x + 3 y y

y ' = - ( 1 ) c o s 0 - 1 ∙ ln ⁡ 1 1 ∙ s e n 0 + x + 3 ( 1 ) ( 1 ) = - 1 3

Logo, m = - 1 3

Substituindo valores na equação da reta

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 1 3 ( x - 0 )

y = - 1 3 x + 1

Até mais!

Resposta

y = - 1 3 x + 1

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