Considere a função

f(x) = x / raiz(x + 1)^(1/3)

Definida para x ≠ -1

  1. Aplicando a definição de derivada de uma função, calcule f' (0) .
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x = 0 .

Passo 1

Vamos lá, letra a , vamos calcular a derivada pela definição. Para tal, vamos usar o limite:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Sendo:

f 0 = 0 1 3 = 0

Substituindo:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x x + 1 3 x = l i m x → 0 1 x + 1 3

Substituindo o ponto do limite:

l i m x → 0 1 x + 1 3 = 1 0 + 1 3 = 1

Como não tem indeterminação nenhuma, esse é o valor do limite e o valor da derivada!

f ' 0 = 1

Passo 2

Vamos agora para a letra b . Queremos achar a equação da reta tangente no ponto x = 0 , de maneira geral, a equação da reta tangente é:

y - f 0 = f ' 0 x - 0

Substituindo os valores que encontramos no item anterior: y = x

Essa é a equação.

Resposta

(a) f ' 0 = 1

(b) y = x

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