Calculo 1 – UFPE – 1° EE
Considere a função .
- Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
- Existe uma outra reta tangente ao gráfico de e que é paralela à reta do item anterior. Determine o ponto de tangência desta reta com o gráfico de ..
Passo 1
Temos que determinar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Isto é, no ponto . Portanto, vamos começar determinando quem é . Sendo assim,
Portanto, precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico no ponto . Esta reta possui equação da forma:
Substituindo os valores das coordenadas do nosso ponto de tangência em e , temos:
Em que o coeficiente é dado por . Portanto, precisamos inicialmente derivar . Com isto, obtemos:
Portanto, é dado por:
Agora, só nos basta substituir este valor na equação da reta tangente e reorganiza-la. Logo,
E assim finalizamos a letra a).
Passo 2
Precisamos determinar o outro ponto tangente a nossa cuja reta tangente é paralela a reta obtida na letra a) da questão.
Se duas retas são tangentes, a inclinação das retas é igual. Isto significa dizer que ambas possuem o mesmo valor de .
Portanto, queremos descobrir as coordenadas de um ponto tais que , o que implica na reta ser paralela a reta da letra a)!
Logo,
Logo, ou . Como é o ponto que utilizamos na letra a), então, o ponto que estamos buscando possui abscissa ! Só nos resta então descobrirmos qual a coordenada da sua ordenada! Sendo assim, temos:
Logo, o ponto que buscamos é o ponto !