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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.9

As curvas y = 2 sin 2 ⁡ x 3 + π / 2 x 2 + 1 + a x e y = a x 2 + 6 x + b têm a mesma reta tangente no ponto ( 0 ,   2 ) . Quais são os valores de a e b ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os valores de a e b , sabendo que y = 2 sin 2 ⁡ x 3 + π / 2 x 2 + 1 + a x e y = a x 2 + 6 x + b têm a mesma reta tangente no ponto ( 0 ,   2 ) .

Pra isso, vamos igualar as equações de y pra quando x = 0 e isolar uma das constantes. Em seguida, como as curvas têm a mesma reta tangente no ponto dado, significa que suas derivadas naquele ponto também são iguais. Então, igualando as derivadas de cada equação no ponto x = 0 , vamos encontrar a outra constante.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar igualando y = 2 sin 2 ⁡ x 3 + π / 2 x 2 + 1 + a x e y = a x 2 + 6 x + b :

2 sin 2 ⁡ x 3 + π / 2 x 2 + 1 + a x = a x 2 + 6 x + b

Para x = 0 , temos:

2 sin 2 ⁡ 0 3 + π / 2 0 2 + 1 + a ∙ 0 = a ∙ 0 2 + 6 ∙ 0 + b

2 sin 2 ⁡ π 2 = b

Elevando os dois lados ao quadrado:

b = 4 sin 4 ⁡ π 2

Como sin ⁡ π 2 = 1 , temos:

b = 4 ∙ 1

b = 4

Passo 3

Agora, calculando a derivada de y = 2 sin 2 ⁡ x 3 + π / 2 x 2 + 1 + a x , usando a regra da Cadeia, temos:

y ' = 4 x cos ⁡ x 3 + π 2 x 2 + 1 sin ⁡ x 3 + π 2 x 2 + 1 ( x 3 + 3 x - π ) x 2 + 1 2 + a

E derivando y = a x 2 + 6 x + b , também usando a regra da Cadeia, vamos ter:

y ' = a x + 3 a x 2 + 6 x + b

Como as curvas tem a mesma reta tangente em x = 0 , vamos igualar as equações:

4 x cos ⁡ x 3 + π 2 x 2 + 1 sin ⁡ x 3 + π 2 x 2 + 1 ( x 3 + 3 x - π ) x 2 + 1 2 + a = a x + 3 a x 2 + 6 x + b

Para x = 0 , temos:

4 ∙ 0 cos ⁡ 0 3 + π 2 0 2 + 1 sin ⁡ 0 3 + π 2 0 2 + 1 ( 0 3 + 3 ∙ 0 - π ) 0 2 + 1 2 + a = a ∙ 0 + 3 a ∙ 0 2 + 6 ∙ 0 + b

0 + a = 3 b

Como encontramos b = 4 no passo anterior, substituindo, vamos obter:

a = 3 4

a = 3 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 3 2

b = 4

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