Dada a curva r(t) = (t, t^2 / 2, t^3 / 3) , ache sobre esta curva um ponto cuja reta tangente passa pelo ponto (11; 48; 252)

  1. (1,1, 1)
  2. (-1/2, 1/2, 1/3)
  3. (6, 18, 72)
  4. (3, 9/2, 9)
  5. (-9, 81/2, 243)

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar e resolver passo a passo com você!

O problema nos dá uma curva vetorial

r → t = t , t 2 2 , t 3 3

E pergunta qual é o ponto sobre essa curva cuja reta tangente passa pelo ponto

  11 ; 48 ; 252

Vamos recordar como encontrar uma reta tangente?

s t = r → t + r → ' t . t

Mas sabemos que essa reta tangente passa pelo ponto 11 ; 48 ; 252 . Então sabemos que isso daqui é válido para um certo valor de t 0

r → t 0 + r → ' t 0 . t = 11 ; 48 ; 252

Só nos resta saber quem é esse t 0   e com ele em mãos, substituir novamente em r → 0 e achar que ponto ele

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar achando a derivada dessa curva! A curva é:

r → t = t , t 2 2 , t 3 3

E vamos derivar em relação a t:

r → ' t = 1 , t , t 2

Beleza?

E agora vamos supor um parâmetro t 0 que satisfaça aquela condição do passo 1:

r → t 0 + r → ' t 0 . t = 11 ; 48 ; 252

Então temos o seguinte:

t 0 , t 0 2 2 , t 0 3 3 + 1 , t 0 , t 0 2 t = 11 ; 48 ; 252

Como temos uma equação vetorial, podemos dividir em três equações distintas:

t 0 + 1 = 11 t 0 2 2 + t 0 t = 48 t 0 3 3 + t 0 2 t = 252

Temos três equações e duas incógnitas, então esse sistema é possível! Nossa missão agora é encontrar quem é esse t 0

Passo 3

Resgatando nosso sistema:

t 0 + 1 = 11 t 0 2 2 + t 0 t = 48 t 0 3 3 + t 0 2 t = 252

Da primeira equação temos:

t = 11 - t 0

E substituindo na segunda:

t 0 2 2 + t 0 11 - t 0 = 48

Fazendo a distributiva nos parênteses e multiplicando tudo por dois temos o seguinte:

t 0 2 + t 0 11 - t 0 = 96

- t 0 2 + 22 t 0 - 96 = 0   × ( - 1 )

t 0 2 - 22 t 0 + 96 = 0

Nossa boa e velha Bhaskara!

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

t 0 2 - 22 t 0 + 96 = 0

t 0 = - ( - 22 ) ± ( - 22 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 96 ) 2 ( 1 ) = 22 ± 100 2

t 0 ' = 16

t 0 ' ' = 6

Certinho? E agora, o que fazer com esse valor?

Substituir na curva! Isso porque determinamos qual é o parâmetro que faz com que a reta tangente da curva passe no ponto dado! E esse parâmetro nos diz em que ponto da curva isso acontece!

Nossa curva é:

r → t = t , t 2 2 , t 3 3

Agora aplicando em t = t 0 temos:

Para t 0 = 16 :

r → 16 = 16 , 16 2 2 , 16 3 3 = 16 ; 128 ; 4069 3

Ou também para t 0 = 6 :

r → 6 = 6 , 6 2 2 , 6 3 3 = 6 ; 18 ; 72  

Qualquer um dos dois pontos é a resposta correta! Mas se você olhar com carinho as alternativas, verá que temos essas opções como resposta:

assim a alternativa correta é a (C)

e é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( c )

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