3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

b) y = 5 - x 2 ,   P 1,4

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 1 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 0 , 99 , então:

y Q = 5 - x Q 2

= 5 - 0,99 2

= 4,0199

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 4,0199 - 4 0 , 99 - 1

= - 1 , 99

- Segundo ponto pode ser x Q = 1 , 001 , então:

y Q = 5 - x Q 2

= 5 - 1,001 2

= 3,997999

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 3,997999 - 4 1,001 - 1

= - 2,001

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= - 1 , 99 - 2 , 001 2

= - 1 , 9955

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = - 1 , 9955 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

4 = - 1 , 9955 ⋅ 1 + b

b = 5,9955

Portanto, a reta tangente é:

y = - 1,9955 x + 5,9955

Resposta

m = - 1 , 9955

y = - 1,9955 x + 5,9955

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