Determine a equação da reta tangente à elipse (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 no ponto (p, q) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no ponto p , q .

Para isso, sabemos que a equação da reta para o ponto p , q é dada por:

y - q = m x - p

Onde m é o coeficiente angular.

Nesse sentido, precisamos derivar a equação da elipse a fim de encontrar esse coeficiente angular m (que será a reta tangente no ponto desejado).

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Assim, derivando implicitamente, temos:

d x 2 a 2 + y 2 b 2 d x = d 1 d x ∴

2 x a 2 + 2 y y ' b 2 = 0 ∴

2 x a 2 = - 2 y y ' b 2 ∴

y ' = - b 2 x a 2 y

Aplicando os pontos p e q em y ' , temos:

y ' = - b 2 p a 2 q

Passo 3

Substituindo os valores encontrados na equação da reta, temos:

y - q = - b 2 p a 2 q x - p ∴

y = - b 2 p a 2 q x - p + q ∴

y = - b 2 p a 2 q x + - b 2 p 2 a 2 q + q

Que é a equação da reta tangente no ponto p , q !!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - b 2 p a 2 q x + - b 2 p 2 a 2 q + q

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